Phương sai là gì? Ví dụ, ý nghĩa, công thức tính và ứng dụng

Phương sai là nội dung xuất hiện trong môn Toán học lớp 10, có xuất hiện trong các bài kiểm tra, bài thi. Vậy phương sai là gì? Ý nghĩa và công thức tính của nó như nào? Hãy cùng chúng tôi tìm hiểu chi tiết về nội dung Toán học này qua những thông tin trong bài nhé. 

Phương sai là gì?

Phương sai là thước đo khoảng cách chênh lệch giữa các số liệu trong một tập dữ liệu với giá trị trung bình của tập dữ liệu đó. Phương sai ký hiệu là gì? Đại lượng này được ký hiệu là σ² , s², Var(X), V(X) trong thống kê.

Trong lý thuyết xác suất thống kê, phương sai là kỳ vọng độ lệch bình phương của một biến ngẫu nhiên so với trung bình tổng thể hay trung bình mẫu của nó. Phương sai tổng thể là phương sai được tính toán từ các quan sát có mặt và được đo từ một hệ thống ở thế giới thực. Khi phương sai được tính toán từ một phương sai mẫu và một tập hợp con sẽ được gọi là ước tính của phương sai tổng thể đầy đủ.

Ý nghĩa của phương sai

Phương sai có ý nghĩa vô cùng quan trọng trong nhiều lĩnh vực, cụ thể như sau:

–   Là thước đo độ phân tán. Hiểu đơn giản thì nó là thước đo mức độ trải rộng của một tập hợp số so với giá trị trung bình của chúng.

–   Có vai trò quan trọng trong thống kê, trong đó phải kể đến một số ý tưởng sử dụng như thống kê mô tả, kiểm tra giả thuyết, suy luận thống kê, mức độ phù hợp và lấy mẫu Monte Carlo.

–  Là một công cụ quan trọng trong ngành khoa học, nơi phân tích các dữ liệu thống kê khá phổ biến.

Công thức tính phương sai

Sau khi hiểu rõ khái niệm phương sai là gì ở trên, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu chi tiết về công thức tính phương sai của một biến ngẫu nhiên X. Phương sai (X) là giá trị kỳ vọng độ lệch bình phương so với giá trị trung bình của X.

Trong đó:

–   x_i là giá trị của quan sát thứ i.

–   µ là giá trị trung bình của tập dữ liệu cần tính.

–   n là số quan sát trong tập dữ liệu cần tính.

–   N được tính bên trong tổng xích ma của x_i

–   Giá trị x trung bình được tính bằng công thức trung bình của tổng các quan sát.

Bảng phương sai của một số phân phối xác suất thường hay được sử dụng:

Cách tính phương sai bằng máy tính casio Fx570:

Thuộc tính cơ bản của phương sai

Bảng thuộc tính của phương sai:

Các loại phương sai phổ biến

Qua những thông tin trên, chắc chắn các bạn đã hiểu rõ phương sai là gì trong xác suất thống kê rồi. Vậy có những loại phương sai nào hay được sử dụng nhiều? Đó là:

–   Phương sai thu nhập: Là sự khác biệt giữa mức thu nhập thực tế và thu nhập kỳ vọng. Nếu con số thực tế cao hơn mức mà bạn mong đợi thì phương sai được cho là có lợi. Còn nếu thấp hơn con số dự kiến, bạn có phương sai bất lợi trong thu nhập.

–   Phương sai chi phí: Thể hiện sự khác biệt giữa mức chi phí thực tế và chi phí dự kiến được lập ngân sách. Nếu bạn chi tiêu ít hơn ngân sách dự trù thì sự khác biệt được cho là một phương sai này rất có lợi. Còn chi tiêu nhiều hơn dự toán thì bạn có một phương sai bất lợi.

–   Phương sai thặng dư/thâm hụt hoặc lãi/lỗ: Là mức chênh lệch giữa thặng dư thực tế và thặng dư dự kiến, hoặc giữa thâm hụt thực tế và dự kiến. Tương tự, một doanh nghiệp cũng có thể lựa chọn đo lường phương sai giữa lãi hoặc lỗ thực tế và dự kiến.

Ưu & nhược điểm của phương sai

Phương sai được ứng dụng nhiều trong các lĩnh vực. Để các bạn hiểu kỹ hơn, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về ưu, nhược điểm của đại lượng này qua những thông tin dưới đây.

Ưu điểm của phương sai

Những ưu điểm nổi bật của phương sai là:

–   Dễ dàng thao tác đại số hơn các loại thước đo độ phân tán khác như độ lệch tuyệt đối dự kiến.

–   Xem tất cả các sai lệch so với giá trị trung bình là giống nhau bất kể hướng của chúng như thế nào, vì vậy chúng không hề bị triệt tiêu.

Nhược điểm của phương sai

Nhược điểm của phương sai gồm có:

–   Đối với các ứng dụng thực tế, phương sai không giống như độ lệch chuẩn, các đơn vị của nó cũng khác với các biến ngẫu nhiên. Đó là lý do tại sao độ lệch chuẩn thường được báo cáo giống như thước đo độ phân tán sau khi kết thúc việc tính toán.

–   Phương sai làm tăng trọng số cho các dữ liệu ngoại lai. Những dữ liệu ngoại lai có giá trị khác xa so với giá trị trung bình nên khi bình phương có thể làm lệch tập dữ liệu.

–   Phương sai không dễ diễn giải và người dùng thường sử dụng nó chủ yếu là để lấy căn bậc hai của nó hay độ lệch chuẩn của một tập dữ liệu.

–   Yếu tố lạm phát trong phương sai khó kiểm soát.

Mở rộng phương sai

Sau khi tìm hiểu các thông tin bên trên, chắc chắn các bạn đã nắm rõ khái niệm phương sai là gì rồi. Tiếp theo chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về các khái niệm mở rộng như phương sai mẫu và phương sai tổng thể nhé.

Phương sai tổng thể là gì?

Phương sai tổng là phương sai được tính từ các dữ liệu tổng thể. Theo nghĩa này thì khái niệm dân số của một tập hữu hạn dân số với kích thước N có thể được mở rộng cho các biến ngẫu nhiên liên tục bởi số lượng quần thể vô hạn.

Phương sai mẫu là gì?

• Phương sai mẫu thiên vị

Trong nhiều tình huống thực tế, khi tính phương sai thực sự của một tập hợp không được biết trước số lượng, không thể đếm hết mọi đối tượng bên trong quần thể thì việc tính toán cần phải thực hiện trên một mẫu của quần thể. Công thức như sau:

Để đưa ra được ước tính về phương sai tổng thể bị sai lệch bởi một hệ số  n-1 / n nên đã được gọi là phương sai mẫu thiên vị.

• Phương sai mẫu không thiên vị

Việc sửa chữa độ sai lệch này tạo ra phương sai mẫu không lệch, được biểu thị s²:

Công thức tính phương sai mẫu không thiên vị

Các ước lượng không thiên vị của độ lệch chuẩn chính là một vấn đề liên quan đến kỹ thuật. Mặc dù đối với sự phân bố bình thường sử dụng hệ số n – 1,5 sản lượng với ước lượng gần như không thiên vị.

Chú ý: Khi tính toán phương sai mẫu, để ước tính phương sai tổng thể thì mẫu số của phương trình được đổi thành (N – 1) nhằm ước lượng không bị thiên vị và không đánh giá thấp về phương sai tổng thể.

• Phân phối phương sai mẫu là gì?

Đây là hàm của các biến số ngẫu nhiên và việc nghiên cứu phân phối của nó là một điều đương nhiên.

Trong trường hợp Yi là các quan sát độc lập từ những phân phối chuẩn, định lý Cochran đã cho thấy s² tuân theo phân phối chi bình phương tỉ lệ.

Nếu Yi là độc lập và được phân phối giống nhau, nhưng không nhất thiết phải là phân phối chuẩn thì trong đó κ là kurtosis của phân bố và μ₄ là thời điểm trung tâm thứ tư .

Bất đẳng thức Samuelson

Bất đẳng thức Samuelson là một kết quả cho biết được giới hạn của các giá trị mà những quan sát riêng lẻ trong một mẫu có thể lấy, cho giá trị trung bình của mẫu và phương sai đã được tính toán.

Giá trị phải nằm trong giới hạn sau:

Ứng dụng của phương sai

Sau khi hiểu rõ phương sai là gì qua những thông tin bên trên, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu thông tin chi tiết về ứng dụng của phương sai trong thực tế nhé.

Trong vật lý

Phương sai của sự phân bố xác suất thống kê tương tự như là mômen quán tính trong cơ học cổ điển. Nó nói về phân bố khối lượng tương ứng theo một đường dọc và liên quan đến chuyển động quay xung quanh tâm của nó.

Chính vì sự tương tự này mà phương sai đã được gọi là mômen của phân phối xác suất. Ma trận hiệp phương sai có sự liên quan đến mômen quán tính của tensor đối với phân bố đa biến. Mômen quán tính của một đám mây có n điểm với ma trận hiệp phương sai là  được đưa ra bởi công thức:

Các nhà vật lý đã coi đây là mômen thấp đối với trục x, vì vậy mômen quán tính là:

Trong đầu tư

Phương sai được rất nhiều nhà phân tích áp dụng trong lĩnh vực đầu tư để tìm kiếm những giải pháp và chiến thuật mới:

Phương sai là một tham số rất quan trọng trong việc phân bổ tài sản đầu tư. Đại lượng này được sử dụng cùng với hệ số tương quan để xác định phương sai của tài sản giúp nhà đầu tư phát triển danh mục đầu tư nhằm tối ưu hóa được sự đánh đổi giữa rủi ro và lợi nhuận. Tuy nhiên, rủi ro hoặc biến động thường sẽ được thể hiện theo dạng độ lệch chuẩn thay vì phương sai, bởi nó dễ hiểu hơn.

Hy vọng bài viết mang đến những thông tin hữu ích để các bạn hiểu rõ phương sai là gì? Ý nghĩa và công thức tính phương sai như nào? Nếu các bạn có thắc mắc gì vẫn chưa rõ về nội dung của bài viết, hãy bình luận bên dưới để chúng tôi giải đáp chi tiết nhé.