Số thực là gì? Số thực bao gồm những số nào?

Trong toán học, chúng ta thường nghe đến cụm từ số thực. Vậy số thực là số như thế nào và gồm có những số gì? Để biết được câu trả lời số thực là gì, xin mời các bạn cùng tìm hiểu thông qua bài viết sau!

Số thực là gì?

Số thực là số được định nghĩa bởi thành phần của chính nó. Nghĩa là, tập hợp số thực được xem như là hợp của tập hợp số vô tỉ với tập hợp của các số hữu tỉ. Số thực này có thể là đại số hoặc là những số siêu việt. Tập hợp của số thực được đặt làm đối trọng với tập hợp của các số phức. Số thực được mô tả một cách không chính thức theo nhiều cách khác nhau. Số thực thường sẽ bao gồm số dương, số 0 và cả số âm.

Trong toán học thì số thực là giá trị của một đại lượng liên tục, được biểu thị bằng một khoảng cách dọc theo một đường thẳng. Tính từ thực này được giới thiệu vào khoảng thế kỷ 17 bởi một nhà toán học người Pháp tên là Rene Descartes, ông là người phân biệt giữa nghiệm thực và nghiệm ảo của đa thức.  

Tập hợp các số thực được ký hiệu là chữ R.

Số thực bao gồm những số nào?

Các số thực sẽ bao gồm tất cả những số hữu tỉ, bao gồm các số nguyên và số thập phân. Ví dụ như số nguyên -5, phân số 4/3 và tất cả cả những số vô tỉ như: √2(1.41421356…, căn bậc 2 của số 2, số đại số vô tỉ). Nằm trong các số vô tỉ là số siêu việt, ví dụ như π(3.14159256…). Ngoài việc đo khoảng cách thì số thực còn được dùng để đo các đại lượng khác như thời gian, vận tốc, năng lượng, khối lượng và rất nhiều đại lượng khác.

Tính chất của số thực

Các tính chất cơ bản của số thực như sau:

• Bất kỳ số thực khác không đều là số âm hoặc số dương.
• Tổng, tích của hai số thực không âm cũng chính là một số thực không âm. Điều này có nghĩa là chúng được đóng trong các phép toán này và tạo thành một vành số dương. Từ đó tạo nên một thứ tự tuyến tính của các số thực dọc theo một trục số.
• Những số thực tạo nên một tập hợp vô hạn các số mà không thể đơn ánh tới tập hợp vô hạn của các số tự nhiên. Nghĩa là có vô cùng nhiều không đếm được các số thực. Trong khi đó, các số tự nhiên được gọi là tập hợp vô hạn đếm được. Điều này đã chứng tỏ rằng trong một số ý nghĩa, có nhiều số thực hơn so với phần tử trong bất kỳ tập hợp đếm được nào.
• Có một hệ thống các tập hợp con vô hạn có thể đếm được các số thực. Ví dụ như: số nguyên, số hữu tỷ, số đại số và số tính được,… Mỗi tập hợp là một tập hợp con thực sự của các tập hợp tiếp theo. Những phần bù của tất cả các tập hợp này (số thực vô tỷ, số siêu việt và cả số không tính toán được) đối với các số thực, đều là những tập hợp vô hạn không đếm được.

Các thuộc tính của số thực 

Ký hiệu R trong toán học được hiểu là số thực và chúng có các thuộc tính như sau:

• Chúng cho biết số thực bao gồm một trường, với phép cộng và phép nhân cùng với phép chia cho các số khác 0. Chúng có thể được sắp xếp trên một trục số hoành theo cách tương thích với phép cộng và phép nhân.
• Chúng cho biết nếu tập hợp của một số thực không trống có giới hạn trên  thì nó có cận trên chính là những số thực nhỏ nhất. 

Các dạng bài tập của số thực và cách giải

Dưới đây là một số dạng bài tập về số thực để các bạn tham khảo thêm:

Dạng 1. Bài tập về định nghĩa các tập hợp số

Phương pháp giải

Trước tiên, bạn cần nắm vững các kí hiệu tập hợp số:

• N : Tập hợp các số tự nhiên
• Q : tập hợp các số hữu tỉ
• R : tập hợp các số thực
• Z : tập hợp các số nguyên
• I : tập hợp các số vô tỉ

Nắm vững quan hệ của các tập hợp số nói trên:

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ; I ⊂ R.

Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Điền dấu ∈, ∉, ⊂ thích hợp vào chỗ trống (…):

1. 3 …. Q ; 3 …. R ; 3… I ; -2,53… Q ;
2. 0,2(35) …. I ; N …. Z ; I …. R.

Giải:

1. a) 3 ∈ Q ; 3 ∈ R ; 3 ∉ I ; -2,53∈ Q ;
2. b) 0,2(35) ∉ I ; N ∈ Z ; I ⊂ R.

Ví dụ 2. Điền vào chỗ trống (…) trong những phát biểu sau:

1. a) Nếu a là một số thực thì a là số … hoặc số …
2. b) Nếu b là số vô tỉ thì b sẽ được viết dưới dạng …

Giải:

1. a) Nếu a là một số thực thì a là số hữu tỉ hoặc số vô tỉ.
2. b) Nếu b là số vô tỉ thì b sẽ được viết dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

Ví dụ 3.

Trong những nhận định dưới đây, câu nào đúng, câu nào sai:

1. a) Nếu a là số nguyên thì a cũng là một số thực
2. b) Số 0 không là số hữu tỉ dương và cũng không là số hữu tỉ âm 
3. c) Nếu a là số tự nhiên thì số a không phải là số vô tỉ

Trả lời.

Các câu a) và c) đúng

Câu b) sai vì ngoài số 0 ra thì số vô tỉ cũng không là số hữu tỉ dương và cũng không là số hữu tỉ âm.

Ví dụ 4 .

Hãy tìm các tập hợp:

1. a) Q ∩ I ;
2. b) R ∩ I.

Giải.

1. a) Q ∩ I = Ø ;
2. b) R ∩ I = I.

Dạng 2: So sánh các số thực

Phương pháp giải: 

Cần nắm vững những kiến thức dưới đây: 

• Với hai số thực x, y bất kì thì ta luôn có hoặc x = y hoặc x < y hoặc x > y.
• Những số thực lớn hơn 0 gọi là số thực dương, các số thực nhỏ hơn 0 gọi là số thực âm. 
• Số 0 không là số thực dương cũng không phải là số thực âm.
• Việc so sánh số thực dương làm tương tự như so sánh các số hữu tỉ.

Bài tập ví dụ

Ví dụ 1

Điền chữ số thích hợp vào (…) :

1. a) – 3,02 < – 3, … 1
2. b) – 7,5 … 8 > – 7,513 ;
3. c) – 0,4 … 854 < – 0,49826 ;
4. d) -1, … 0765 < – 1,892.

Hướng dẫn

1. a) – 3,02 < – 301
2. b) – 7,508 > – 7,513 ;
3. c) – 0,49854 < – 0,49826 ;
4. d) -1,90765 < – 1,892.

Ví dụ 2

Cho các số thực: -3,2 ; 1 ; -1/2 ; -7,4 ; 0 ; -1,5. Hãy sắp xếp:

1. a) Theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.
2. b) Theo thứ tự từ bé đến lớn theo giá trị tuyệt đối của chúng.

Giải.

a)Sắp xếp theo thứ tự như sau:  – 3,2 < -1,5 < -1/2 < 0 < 1 < 7,4.

4. b) 0 < 1/2 < 1 < 1,5 < 3,2 < 7,4. Vì vậy:

|0| < |-1/2| < |1| < |-1,5| < |-3,2| < |7,4|.

Dạng 3. Tìm số chưa biết ở trong một đẳng thức

Phương pháp giải

• Cần sử dụng đến tính chất của các phép toán 
• Sử dụng quan hệ giữa những số hạng trong một tổng, một hiệu; quan hệ giữa các thừa số trong một tích, quan hệ giữa số bị chia, số chia và thương ở phép chia.
• Sử dụng theo quy tắc “dấu ngoặc”, “chuyển vế”

Bài tập ví dụ

Tìm x, biết: 3,2.x + (-1,2).x +2,7 = -4,9 ;

Giải.

3,2. x + (-1,2).x + 2,7 = -4,9

[3,2 + (-1,2)].x + 2,7 = -4,9.

2.x + 2,7 = – 4,9.

2.x = – 4,9 – 2,7

2.x = – 7,6

x = -7,6 : 2

x = -3,8

Dạng 4 .Tính giá trị biểu thức

Phương pháp giải

• Thực hiện phối hợp nhuần nhuyễn phép tính cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa, chú ý thực hiện đúng theo thứ tự đã quy định.
• Rút gọn các phân số về tối giản nhất
• Chú ý vận dụng tính chất những  phép toán để tính toán được thuận tiện.

Bài tập ví dụ

Giải

Hy vọng những kiến thức chúng tôi chia sẻ trên đây đã giúp các bạn hiểu rõ hơn về số thực là gì, tính chất và cũng như phương pháp giải các dạng toán liên quan đến số thực. Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của chúng tôi, hẹn gặp lại ở những bài viết tiếp theo!

Xem thêm:

• Cách tính chu vi tam giác đầy đủ và chi tiết nhất
• Số chính phương là gì? – Định nghĩa, tính chất và bài tập áp dụng
• Hiệu suất là gì? Công thức tính hiệu suất
• Tổng hợp bảng công thức nguyên hàm chi tiết và đầy đủ nhất
• Cấp số cộng cấp số nhân là gì? Định nghĩa, tính chất và bài tập