Tia phân giác, đường phân giác là gì? Khái niệm, tính chất, bài tập áp dụng

Tia phân giác và đường phân giác là những kiến thức toán học rất quan trọng trong toán lớp 6. Vậy tia phân giác là gì? Đường phân giác là gì? Chúng tôi sẽ chia sẻ cho các bạn những thông tin chi tiết về khái niệm, tính chất và bài tập áp dụng để các bạn có thể nắm vững kiến thức.

Tia phân giác là gì?

Tia phân giác của một góc là tia nằm ở giữa hai cạnh của góc và tạo với hai cạnh ấy hai góc bằng nhau. Mỗi góc (không phải là góc bẹt) sẽ chỉ có một tia phân giác.

Định lý thuận: Điểm nằm ở trên tia phân giác của một góc thì sẽ cách đều hai cạnh của góc đó.

Định lí đảo:

• Điểm nằm bên trong của một góc và cách đều hai cạnh của góc thì sẽ nằm trên tia phân giác của góc đó.
• Tập hợp các điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc chính là tia phân giác của góc đó.

Đường phân giác là gì?

Đường phân giác của một góc là đường thẳng chia góc đó thành hai góc có độ lớn bằng nhau. Mọi điểm ở trên một đường phân giác sẽ cách đều hai cạnh của góc đó và ngược lại

Tính chất đường phân giác trong tam giác

Trong tam giác, đường phân giác của một góc sẽ chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng có tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy. 

Lưu ý: Định lí vẫn sẽ đúng với tia phân giác của góc ngoài tam giác.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có AD và AE lần lượt là hai đường phân giác của góc trong và góc ngoài tại đỉnh A. Khi đó, ta có: AB/AC = DB/DC hay EB/EC = AB/AC.

Bài tập về đường phân giác 

Sau khi tìm hiểu rõ khái niệm “tia phân giác là gì? Đường phân giác là gì?” ở bên trên, chắc chắn các bạn đã nắm vững kiến thức này rồi. Để ghi nhớ kiến thức này được lâu, chúng ta sẽ cùng làm các dạng bài tập ở bên dưới đây nhé.

Dạng 1. Chứng minh một tia là phân giác của một góc cho trước

Phương pháp giải: Chứng minh tia Oy chính là tia phân giác của góc xOz

• Cách 1: Chứng minh tia Oy nằm ở giữa hai tia Ox, Oz và góc xOy = góc yOz.
• Cách 2: Chứng minh cho góc xOy = góc yOz = 1/2 góc xOz
• Cách 3: Dùng tính chất của đường trung tuyến trong tam giác cân đồng thời là đường phân giác.

Bài 1. Cho tam giác ABC, có hai đường phân giác của hai góc ngoài đỉnh B và đỉnh C giao nhau tại E. Chứng minh điểm E thuộc đường phân giác trong của góc BAC.

Bài giải

Từ E hạ đường thẳng EH vuông góc BC, EF vuông góc AB, EG vuông góc AC với điểm H thuộc BC, F thuộc AB và G thuộc AC.

Ta có:

• EF = EH (vì E thuộc đường phân giác ngoài của góc B) (1)
• EH = EG (vì E thuộc phân giác ngoài của góc C) (2)

Từ (1) và (2) ta có: EF = EG => điểm E thuộc tia phân giác trong của góc BAC (theo tính chất tia phân giác của một góc)

Bài 2. Cho ABC vuông tại đỉnh A. Từ một điểm K bất kì ở trên cạnh BC, kẻ đường thẳng KH vuông góc AC (H thuộc AC). Trên tia đối của tia HK lấy một điểm I sao cho HI = HK. Hãy chứng minh:

1. AB // HK
2. Góc KAH = góc IAH
3. Tam giác AKI cân

Bài giải

a) Ta có: 

• AB vuông góc AC (tam giác ABC vuông tại đỉnh A),
• KH vuông góc AC (theo giả thiết)

=> AB // KH (từ vuông góc đến song song)

b) Xét tam giác AHK và tam giác AHI, ta có:

• HK = HI (theo giả thiết)
• góc AHK = góc AHI = 90 (theo giả thiết)
• AH chung

Do đó, tam giác AHK = tam giác AHI (hai cạnh góc vuông bằng nhau)

=> góc KAH = góc IAH (hai góc tương ứng thì bằng nhau)

c) Theo chứng minh ở câu b, ta có: tam giác AHK = tam giác AHI 

=> AK = AI (hai cạnh tương ứng bằng nhau)

=> tam giác AKI cân tại A.

Bài 3. Cho góc xOy. Lấy các điểm A, B thuộc tia Ox sao cho độ dài OA > OB. Lấy các điểm C, D thuộc tia Oy sao cho độ dài OC = OA và OD = OB. Gọi điểm E là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng:

1. AD = BC
2. Δ ABE = ΔCDE
3. OE chính là tia phân giác của góc xOy

Bài giải

a) Xét ΔOCB và ΔOAD, ta có:

• OC = OA (theo giả thiết)
• Góc O chung
• OB = OD (theo giả thiết)

Do đó, ΔOCB = ΔOAD (c.g.c)

=> CB = AD (hai cạnh tương ứng)

b) Do OA = OC; OB = OD nên => AB = CD

Lại có: ΔOCB = ΔOAD (chứng minh trên)

Suy ra:

• Góc ODA = góc OBC  (Hai góc tương ứng)
• Góc OCB = góc OAD (hai góc tương ứng)

Mặt khác, góc ABE + góc OBC = góc CDE + góc ODA = 180

=> Góc ABE = góc CDE

Xét ΔCDE và ΔABE, ta có:

• Góc OCB = góc OAD  (chứng minh trên)
• AB = CD (chứng minh trên)
• Góc CDE = góc ABE (chứng minh trên)

Do đó, ΔABE = ΔCDE (g.c.g)

c) Vì 2 ΔABE = ΔCDE (chứng minh trên) 

=> AE = CE (là hai cạnh tương ứng)

Xét ΔAEO và ΔCEO, ta có:

• AE = CE (chứng minh trên)
• OE cạnh chung
• OA = OC (theo giả thiết) 

Do đó, ΔAEO = ΔCEO (c.c.c)

=> Góc AOE = góc COE (Là hai góc tương ứng)

=> OE chính là tia phân giác của góc xOy

Dạng 2: Tính số đo góc

Bài 1. Cho hai góc xOy và góc yOz là hai góc kề bù nhau, biết góc xOy = 120°.

1. Tính góc yOz
2. Om là tia phân giác của góc xOy. Tính góc zOm.

Bài giải

1. Vì góc xOy và góc yOz là hai góc kề bù nhau nên góc xOy + góc yOz = 180 => góc yOz = 180º – góc xOy = 60º
2. Tia Om là tia phân giác của góc xOy (theo giả thiết)

=> góc xOm = góc mOy = góc xOy / 2 = 120/2 = 60º

Hai góc xOm và zOm kề bù nhau nên góc xOm + góc zOm = 180º

=> góc zOm = 120º

Bài 2. Cho hai góc góc AOB và góc BOC kề nhau sao cho góc AOB = 50º, góc BOC = 80º. Gọi OD là tia đối của tia OC.

1. Tính số đo của góc AOC
2. Chứng minh tia OA nằm ở giữa hai tia OB và OD
3. OA có phải là tia phân giác của góc BOD không? Vì sao?

Bài giải

1. Ta có: góc AOC = góc AOB + góc BOC = 50 + 80 = 130
2. Ta có: góc AOC < COD (vì 130<180) và góc COB < góc AOC (vì 80 < 130) 

=> tia OA nằm ở giữa 2 tia OB và OD

c) Tia OA nằm ở giữa hai tia OC và OD 

=> góc COD = góc COA + góc AOD 

=> góc AOD = 50º

Như vậy, góc AOD = góc AOB = 50º kết hợp với câu b nên OA là tia phân giác của góc BOD.

Dạng 3. Vận dụng tính chất của một góc để chứng minh cho các đoạn thẳng bằng nhau

Phương pháp giải: Áp dụng định lý thuận: Điểm nằm  trên tia phân giác của một góc thì sẽ cách đều hai cạnh của góc đó.

Bài 1. Cho tam giác ABC có AB < AC. Tia phân giác của góc A cắt đường thẳng vuông góc với cạnh BC tại trung điểm D của BC. Gọi H và K là chân của các đường vuông góc kẻ từ điểm D đến các đường thẳng AB và AC. Chứng minh: BH = CK.

Bài giải

Ta có: 

• D thuộc đường phân giác của góc A (theo giả thiết)
• DH vuông góc với AB 
• DK vuông góc với AC

=> DH = DK (theo tính chất tia phân giác của một góc)

Gọi điểm G là trung điểm của cạnh BC

Xét ΔBGD và ΔCGD, ta có:

• Góc BGD = góc CGD = 90° (DG là đường trung trực của BC)
• BG = CG (theo giả thiết)
• DG là cạnh chung

Do đó, BGD = CGD (hai cạnh góc vuông)

=> BD = CD (là hai cạnh tương ứng của 2 tam giác bằng nhau)

Xét ΔBHD và ΔCKD, ta có:

• Góc BHD = CKD = 90°
• DH = DK (chứng minh trên)
• BD = CD (chứng minh trên)

Do đó, ΔBHD = ΔCKD (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

=> BH = CK (là hai cạnh tương ứng của 2 tam giác bằng nhau)

Bài 2. Cho ABC với góc A = 120°. Tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm D. Tia phân giác của góc ADC cắt AC tại điểm I. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của I trên đường thẳng AB và BC. Chứng minh: IH = IK

Bài giải

Kẻ IE vuông góc AD (E thuộc cạnh AD). 

Gọi Ax là tia đối của tia AB.

Vì góc BAC và góc CAx là hai góc kề bù 

=> góc CAx = 180 – góc BAC = 60° (1)

Ta có: AD là đường phân giác của góc BAC 

=> góc DAC = 1/2 góc BAC = 60° (2)

Từ (1) và (2) => AC là tia phân giác của góc DAx

=> IH = IE (theo tính chất phân giác của một góc) (3)

Vì DI là phân giác của góc ADC nên IK = IE (theo tính chất tia phân giác của một góc) (4)

Từ (3) và (4) => IH = IK

Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh A có AB = 3 cm, AC = 6 cm. Gọi E là trung điểm của cạnh AC, tia phân giác của góc A cắt BC tại điểm D.

1. Tính BC?
2. Chứng minh rằng Δ BAD = Δ EAD
3. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của điểm G trên AB, AC. Chứng minh điểm D cách đều cạnh AB và AC.

Bài giải

a) Xét Δ ABC vuông tại A, ta có:

AB² + AC² = BC² (định lý pytago)

=> BC = √(AB² + AC²) = √( 9 + 36)= √45(cm)

b) Vì điểm E là trung điểm của cạnh AC nên:

AE = 1/2 AC = 3cm => AE = AB

Xét ΔBAD và ΔEAD, ta có:

• Góc BAD = góc EAD (vì AD là đường phân giác)
• AD chung
• AB = AE (chứng minh trên)

Do đó, ΔBAD = ΔEAD (c.g.c)

c) Vì D nằm trên tia phân giác của góc BAC nên DH = DK (theo tính chất tia phân giác của một góc)

=> điểm D cách đều 2 cạnh AB và AC.

Các bài tập khác về tia phân giác – toán 6

Bài 17 – trang 68 SGK: Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM. Tia phân giác của góc AMB cắt cạnh AD ở D, tia phân giác của góc AMC cắt cạnh AC ở E. Chứng minh rằng DE// BC.

Bài giải:

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB= 21cm, AC= 28cm, đường phân giác góc A cắt BC tại D, đường thẳng qua D và song song với AB, cắt AC tại E.

1. Tính độ dài các đoạn thẳng BD, DC và DE.
2. Tính diện tích tam giác ABD và diện tích tam giác ACD

Giải:

Bài 3: Cho tam giá cân ABC ( AB=AC), đường phân giác góc B cắt AC tại D, cho biết AB = 15 cm, BC = 10 cm.

1. Tính AD, DC
2. Đường vuông góc với BD tại B cắt đường thẳng AC kéo dài tại E. Tính EC

Hy vọng bài viết này mang đến những thông tin hữu ích để các bạn hiểu rõ tia phân giác là gì? Đường phân giác là gì?. Từ đó nắm vững kiến thức để đạt được điểm cao khi làm bài kiểm tra, bài thi.

Xem thêm:

• Trọng tâm là gì? Đường trung tuyến là gì? Tính chất, công thức, cách vẽ
• Định lý Talet thuận – đảo, hệ quả của định lý Talet và bài tập áp dụng
• Đường trung trực là gì? Định nghĩa, tính chất và các dạng bài tập
• Định lý Cosin – hệ quả định lý cosin và bài tập vận dụng
• Định lý Menelaus trong không gian và ứng dụng